Las proyecciones espectrales positivas y negativas son aplicaciones de clase $C^{\infty}$
Palabras clave:
Teoria espectral, complexificación de operadores lineales, subespacios espectrales positivos y negativos, proyección, ortogonal, fórmula integral de Cauchy.Resumen
Sea $H$ un espacio de Hilbert real o complejo. Denotaremos por $Gl_{S}(H)$ el conjunto formado por los isomorfismos auto-adjuntos limitados en $H$. Si $L\in Gl_{S}(H)$, entonces existe una descomposición $H=H_{+}(L)\oplus H_{-}(L),$ invariante por $L,$ tal que $L$ es positivo en $H_{+}(L)$ y negativo en $H_{-}(L)$.
El objetivo principal de este trabajo es dar una prueba elemental de que $ P_{-}, P_{+}: Gl_{S}(H) \rightarrow L_ {S} (H),$ $P_{-}(L)$, donde $ P_{-}(L)$ y $ P_{+}(L)$ son las proyecciones ortogonales sobre $H_{-}(L)$ y $H_{+}(L)$ respectivamente, pueden ser expresadas como
\begin{equation*}
P_{-}(L) = - \frac{1}{2 \pi i} \int_ {\Gamma} (L-\lambda I)^{-1} d \lambda \quad \text{ e }\quad P_{+}(L) = I+ \frac{1}{2 \pi i} \int_ {\Gamma} (L-\lambda I)^{-1} d \lambda ,
\end{equation*}
donde $ \Gamma $ es un camino cerrado diferenciable que contiene en su interior el espectro negativo de $L$. Usando esta representaci\'on, veremos que $P_{-}$ y $P_{+}$ son aplicaciones de clase $C^{\infty}$.
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